關于什么是實數(shù)和虛數(shù)，什么是實數(shù)這個很多人還不知道，今天菲菲來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù). 2、實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的 在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大． 3、在實數(shù)范圍內，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義與有理數(shù)范圍的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣． 4、實數(shù)可以進行加、減、乘、除、乘方等運算，而且有理數(shù)的運算法則與運算律對實數(shù)仍然適用． 實數(shù)理論 千百年來，數(shù)學愛們都在為整個數(shù)學尋找一個可靠的邏輯基礎而不懈努力，然而分析的算術化，是以實數(shù)為基礎的。

2、不弄清實數(shù)的本質,不給實數(shù)以明確的定義、建立實數(shù)大小、運算等理論，連續(xù)函數(shù)的性質就無法徹底弄清，甚至連柯西收斂準則的充分性也無法嚴格證明。

3、 這就迫使數(shù)學家們加快建立數(shù)學理論的步伐。

4、 實數(shù)理論的核心問題是對無理數(shù)的認識，早在19世紀前期，柯西就已感到定義無理數(shù)的重要性。

5、他在《分析教程》中，把無理數(shù)定義為收斂的有理數(shù)列的極限，設{yn}是一列有理數(shù)，如果存在一個數(shù)y,yn-->y,那么y就是一個無理數(shù)。

6、 這個定義存在邏輯上的毛病。

7、因為有理數(shù)序列{yn}不收斂于無理數(shù)（即y為有理數(shù)），則定義不出無理數(shù)；不收斂于有理數(shù)，那得不承認y是無理數(shù)才行，才能定義它是無是數(shù)，這就犯了循環(huán)定義的錯誤。

8、 19世紀60年代末以后，出現(xiàn)了幾種不同的無理數(shù)定義，分別出自維爾期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手，但不論他們定義實數(shù)的具體方法有何不同，都符合以下三個條件：第一，把不理數(shù)當作已知，從有理數(shù)出發(fā)定義無理數(shù)；第二，所定義的褸的性質及其運算律，與有理數(shù)所具有的一三，這樣定義的實數(shù)是完備的，即在極限運算下不會再出現(xiàn)新數(shù)。

9、為了避免柯西理數(shù)定義中的錯誤，維爾斯特拉斯堅持了他的表態(tài)觀點，曾引入"復合數(shù)"概念。

10、并用復合數(shù)定義有理數(shù)。

11、如3（2/3）由3α和2β組成，其中α=1是主要單位，元素β=1/3。

12、一個數(shù)已知它由什么元素組成，以及每個元素出現(xiàn)的次數(shù)時，就完全確定了，維爾斯特拉斯繼而定義無理數(shù)如√2定義為1α，4β1γ----康托與梅雷定義的無理數(shù)基本相同，以有理數(shù)為出發(fā)點引進新數(shù)類----實數(shù)。

13、該數(shù)類包括有理數(shù)和無理數(shù)。

14、在褸理論建樹中，戴德金的實數(shù)理論是最完整的。

15、人用有理數(shù)分割來定義實數(shù)這一思想來源于對直線連續(xù)性的考慮。

16、人和康托大致同時提出了實數(shù)集與直線上的點一一對應假設。

17、這一假設后來稱為“康托-戴德金"公理，他想，直線上的有理點是不連續(xù)的，必然由無量數(shù)填補空位，才能使直線成為連續(xù)。

18、如何才能把這些補空位的無理數(shù)表示出來？戴德金用全體有理數(shù)的一個分割，來表示一個無理數(shù)。

19、 上面所說的幾種無理數(shù)定義，都把有理數(shù)當作已知的，因為任何一個有理數(shù)，都可以寫成兩個整數(shù)之比，因此問題歸結為整數(shù)。

20、那么對于整數(shù)需不需要再下定義呢？對這個問題也產生了分歧，維爾斯特拉斯就認為沒必要，有理數(shù)邏輯地歸為一對整數(shù)，對整數(shù)的邏輯無須做進一步研究。

21、 戴德金則不然，他在《數(shù)的性質與意義》一書中，利用集合論思想給出了一個整數(shù)理論，雖因過于復雜未被采用，卻給皮亞諾以直接啟示。

22、 1889年，意大利數(shù)學家皮亞諾在他的《算術原理新方法》一書中，用公理方法給出了自然數(shù)理論，從而完成了整個數(shù)系邏輯化工作。

23、 皮亞諾出生于都靈，曾任都靈大學講師和教授，是一位數(shù)理邏輯學家。

24、他不像邏輯主義者那樣，主張把數(shù)學建立在邏輯上，而是主張把邏輯作為數(shù)學工具。

25、 皮亞諾在《算術原理方法》一書中，使用了一系列符號，如用∈，NO和a+分別表示屬于、包含、自然數(shù)類和a的下一個自然數(shù)等；給出了四個不加定義的原始概念：集合，自然數(shù)，后繼數(shù)和屬于；還提出了自然數(shù)的五個公理： 1）1是自然數(shù)； 2）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)； 3）每個自然數(shù)a都不一個后繼數(shù)a+; 4）如果a+=b+,則a=b; 5）如果s是一個含有1的自然數(shù)集合，且當s含有a時，也含有a+，則s含有全部自然數(shù)。

26、這個公理是數(shù)學歸納法的邏輯基礎。

27、 接著，皮亞諾根據(jù)自然數(shù)定義整數(shù)：設a,b為自然數(shù)。

28、則數(shù)對（a,)即"a-b"定義整數(shù)。

29、當a>b,a/span> 有了整數(shù)概念，再通過有序對定義有理數(shù)：若n,m為整數(shù)，則有序對（n,m)(m<>0)即n/m定義一個有理數(shù)。

30、 這樣，皮亞諾應用數(shù)學符號和公理方法，在自然數(shù)公理的基礎上，簡明扼要地建立起自然數(shù)系、整數(shù)系和有理數(shù)系。

31、當然用公理的、邏輯的方法構造出來的數(shù)系，使一數(shù)學家感到很不自然。

32、他們認為這是將本一清楚的概念"做了不可理解的推廣，然而，實數(shù)理論的建立，譜寫了19世紀數(shù)學史上輝煌的一章。

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