關(guān)于什么是實(shí)數(shù)和虛數(shù)，什么是實(shí)數(shù)這個(gè)很多人還不知道，今天菲菲來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù). 2、實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的 在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大． 3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義與有理數(shù)范圍的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣． 4、實(shí)數(shù)可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用． 實(shí)數(shù)理論 千百年來，數(shù)學(xué)愛們都在為整個(gè)數(shù)學(xué)尋找一個(gè)可靠的邏輯基礎(chǔ)而不懈努力，然而分析的算術(shù)化，是以實(shí)數(shù)為基礎(chǔ)的。

2、不弄清實(shí)數(shù)的本質(zhì),不給實(shí)數(shù)以明確的定義、建立實(shí)數(shù)大小、運(yùn)算等理論，連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)就無法徹底弄清，甚至連柯西收斂準(zhǔn)則的充分性也無法嚴(yán)格證明。

3、 這就迫使數(shù)學(xué)家們加快建立數(shù)學(xué)理論的步伐。

4、 實(shí)數(shù)理論的核心問題是對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)，早在19世紀(jì)前期，柯西就已感到定義無理數(shù)的重要性。

5、他在《分析教程》中，把無理數(shù)定義為收斂的有理數(shù)列的極限，設(shè){yn}是一列有理數(shù)，如果存在一個(gè)數(shù)y,yn-->y,那么y就是一個(gè)無理數(shù)。

6、 這個(gè)定義存在邏輯上的毛病。

7、因?yàn)橛欣頂?shù)序列{yn}不收斂于無理數(shù)（即y為有理數(shù)），則定義不出無理數(shù)；不收斂于有理數(shù)，那得不承認(rèn)y是無理數(shù)才行，才能定義它是無是數(shù)，這就犯了循環(huán)定義的錯(cuò)誤。

8、 19世紀(jì)60年代末以后，出現(xiàn)了幾種不同的無理數(shù)定義，分別出自維爾期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手，但不論他們定義實(shí)數(shù)的具體方法有何不同，都符合以下三個(gè)條件：第一，把不理數(shù)當(dāng)作已知，從有理數(shù)出發(fā)定義無理數(shù)；第二，所定義的褸的性質(zhì)及其運(yùn)算律，與有理數(shù)所具有的一三，這樣定義的實(shí)數(shù)是完備的，即在極限運(yùn)算下不會(huì)再出現(xiàn)新數(shù)。

9、為了避免柯西理數(shù)定義中的錯(cuò)誤，維爾斯特拉斯堅(jiān)持了他的表態(tài)觀點(diǎn)，曾引入"復(fù)合數(shù)"概念。

10、并用復(fù)合數(shù)定義有理數(shù)。

11、如3（2/3）由3α和2β組成，其中α=1是主要單位，元素β=1/3。

12、一個(gè)數(shù)已知它由什么元素組成，以及每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)時(shí)，就完全確定了，維爾斯特拉斯繼而定義無理數(shù)如√2定義為1α，4β1γ----康托與梅雷定義的無理數(shù)基本相同，以有理數(shù)為出發(fā)點(diǎn)引進(jìn)新數(shù)類----實(shí)數(shù)。

13、該數(shù)類包括有理數(shù)和無理數(shù)。

14、在褸理論建樹中，戴德金的實(shí)數(shù)理論是最完整的。

15、人用有理數(shù)分割來定義實(shí)數(shù)這一思想來源于對(duì)直線連續(xù)性的考慮。

16、人和康托大致同時(shí)提出了實(shí)數(shù)集與直線上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)假設(shè)。

17、這一假設(shè)后來稱為“康托-戴德金"公理，他想，直線上的有理點(diǎn)是不連續(xù)的，必然由無量數(shù)填補(bǔ)空位，才能使直線成為連續(xù)。

18、如何才能把這些補(bǔ)空位的無理數(shù)表示出來？戴德金用全體有理數(shù)的一個(gè)分割，來表示一個(gè)無理數(shù)。

19、 上面所說的幾種無理數(shù)定義，都把有理數(shù)當(dāng)作已知的，因?yàn)槿魏我粋€(gè)有理數(shù)，都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比，因此問題歸結(jié)為整數(shù)。

20、那么對(duì)于整數(shù)需不需要再下定義呢？對(duì)這個(gè)問題也產(chǎn)生了分歧，維爾斯特拉斯就認(rèn)為沒必要，有理數(shù)邏輯地歸為一對(duì)整數(shù)，對(duì)整數(shù)的邏輯無須做進(jìn)一步研究。

21、 戴德金則不然，他在《數(shù)的性質(zhì)與意義》一書中，利用集合論思想給出了一個(gè)整數(shù)理論，雖因過于復(fù)雜未被采用，卻給皮亞諾以直接啟示。

22、 1889年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他的《算術(shù)原理新方法》一書中，用公理方法給出了自然數(shù)理論，從而完成了整個(gè)數(shù)系邏輯化工作。

23、 皮亞諾出生于都靈，曾任都靈大學(xué)講師和教授，是一位數(shù)理邏輯學(xué)家。

24、他不像邏輯主義者那樣，主張把數(shù)學(xué)建立在邏輯上，而是主張把邏輯作為數(shù)學(xué)工具。

25、 皮亞諾在《算術(shù)原理方法》一書中，使用了一系列符號(hào)，如用∈，NO和a+分別表示屬于、包含、自然數(shù)類和a的下一個(gè)自然數(shù)等；給出了四個(gè)不加定義的原始概念：集合，自然數(shù)，后繼數(shù)和屬于；還提出了自然數(shù)的五個(gè)公理： 1）1是自然數(shù)； 2）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)； 3）每個(gè)自然數(shù)a都不一個(gè)后繼數(shù)a+; 4）如果a+=b+,則a=b; 5）如果s是一個(gè)含有1的自然數(shù)集合，且當(dāng)s含有a時(shí)，也含有a+，則s含有全部自然數(shù)。

26、這個(gè)公理是數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)。

27、 接著，皮亞諾根據(jù)自然數(shù)定義整數(shù)：設(shè)a,b為自然數(shù)。

28、則數(shù)對(duì)（a,)即"a-b"定義整數(shù)。

29、當(dāng)a>b,a/span> 有了整數(shù)概念，再通過有序?qū)Χx有理數(shù)：若n,m為整數(shù)，則有序?qū)Γ╪,m)(m<>0)即n/m定義一個(gè)有理數(shù)。

30、 這樣，皮亞諾應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)和公理方法，在自然數(shù)公理的基礎(chǔ)上，簡(jiǎn)明扼要地建立起自然數(shù)系、整數(shù)系和有理數(shù)系。

31、當(dāng)然用公理的、邏輯的方法構(gòu)造出來的數(shù)系，使一數(shù)學(xué)家感到很不自然。

32、他們認(rèn)為這是將本一清楚的概念"做了不可理解的推廣，然而，實(shí)數(shù)理論的建立，譜寫了19世紀(jì)數(shù)學(xué)史上輝煌的一章。

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