關(guān)于蝴蝶定理的證明及推廣，蝴蝶定理的證明這個很多人還不知道，今天菲菲來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1、蝴蝶定理：在圓O中，CD、EF為過AB弦的中點M的任意兩條弦，連接CF、DE分別交AB于H、K，則有MK=MH。

2、 已知：在圓O中，CD、EF為過AB弦的中點M的任意兩條弦，連接CF、DE分別交AB于H、K。

3、求證：MK=MH。

4、蝴蝶定理最先是作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》上，由于其幾何圖形形象奇特，酷似蝴蝶，因此而得名。

5、歷史上出現(xiàn)過許多優(yōu)美奇特的解法，其中最早的應(yīng)首推霍納所給出的非初等的證法。

6、至于初等數(shù)學(xué)的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師斯特溫首先提出的，他給出的是面積法的證明。

7、思路1：如圖8-30甲所示,構(gòu)造△MFH的全等△MGK；從四點共圓開始，再用四點共圓來證明∠MFH=∠MGK是關(guān)鍵；證明1：過F作FG‖AB交⊙O于G，連接MG、KG、DG。

8、則∠AMF=∠MFG；∠BMG=∠MGF（平行線性質(zhì)）；在△AMF和△BMG中；AM=MB；∠FAM=∠GBM；（等弧對等角）AF=BG； （等弧對等弦）∴ △AMF≌△BMG；（SAS）∴ ∠AMF=∠BMG；MF=MG；∴ ∠AMF=∠MFG=∠FGM=∠GMB；∵ E、F、G、D四點共圓；∴ ∠MFG+∠KDG=180°∴ ∠BMG+∠KDG=180°∴ M、K、D、G四點共圓；∴ ∠MDK=∠MGK；∵ ∠MDK=∠MFH；（同弧上的圓周角相等）∴ ∠MFH=∠MGK；在△MFH和△MGK中；∠FMH=∠GMK；MF=MG；∠MFH=∠MGK；∴ △MFH≌△MGK；（ASA）∴ MH=MK。

9、結(jié)論：根據(jù)圓的對稱性，往左邊作圖也一定可以，構(gòu)造△MDK的全等三角形。

10、思路2：如圖8-30甲所示,根據(jù)圓的對稱性，作出弦心距；從三角形相似再推導(dǎo)出三角形相似，由四點共圓，推導(dǎo)出∠MOH=∠MOK是關(guān)鍵；證明2：過O作OS⊥FC、OT⊥DE、連OH、OK、SM、MT，再連MO。

11、∵ AM=MB；∴ OM⊥AB、∠AMO=∠BMO=90°；在△FCM和△DEM中；∠CMF=∠DME；（對頂角相等）；∠MFC=∠MDE；（等弧對等圓周角）∴ △FCM∽△DEM；（AA）∴ = ；∵ FS=SC=FC；DT=TE=DE；∴ = ；在△FSM和△DTM中；∠MFS=∠MDT；（等弧對等圓周角）；= ；∴ △FSM∽△DTM；（SAS）∠FSM=∠DTM；∠MSH=∠MTK；∵ ∠AMO=90°、∠HSO=90°；O、S、H、M四點共圓；∴ ∠MSH=∠MOH；∵ ∠BMO=90°、∠KTO=90°；O、T、K、M四點共圓；∴ ∠MTK=∠MOK；∴ ∠MOH=∠MOK；∴ M、H、G、F四點共圓；∴ ∠MGH=∠MFH；在△MOH和△MOK中；∠MOH=∠MOK；MO=MO；∠AMO=∠BMO=90°；∴ △MOH≌△MOK；（ASA）∴ MH=MK。

12、結(jié)論：作出弦心距是最有效的輔助線，本證法的出發(fā)點是證明△HOK是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一性來證明最終的結(jié)論。

13、該命題還有很多其他證法，不再贅述。

本文到此分享完畢，希望對大家有所幫助。

標簽：