平面向量奔馳定理的推廣及應(yīng)用（平面向量奔馳定理）
關(guān)于平面向量奔馳定理的推廣及應(yīng)用，平面向量奔馳定理這個(gè)很多人還不知道，今天菲菲來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！
1、平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x 、y) ，使 a= xe1+ ye2。
2、用反證法證明:假設(shè)存在 另一對(duì)實(shí)數(shù) m,n 滿足 me1+ye2=a又 xe1+ye2=ame1+ye2=xe1+ye2(m-x)e1=(y-n)e2因?yàn)閑1,e2不共線所以 m-x=0,y-n=0 所以m=x,y=n與假設(shè)矛盾所以得證 推廣:已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A.B.C，則點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是:存在x.y.z∈R，滿足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC。
3、 證明:(充分性) ∵x+y+z=1 ∴ z=1-x-y 又∵OP=xOA+yOB+zOC ∴ OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC) ∴ CP=xCA+yCB 又由已知條件A、B、C三點(diǎn)不共線可得CA、CB是不共線向量 ∴ 根據(jù)平面向量的基本定理可知，點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi) ∴ 充分性成立(必要性) ∵點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi) 又由已知條件A、B、C三點(diǎn)不共線可得CA、CB是不共線向量 ∴ 根據(jù)平面向量的基本定理可知，存在實(shí)數(shù)x，y使得 CP=xCA+yCB ∴ OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC) OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC 令z=1-x-y 則x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC 即，存在實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=1，使得OP=xOA+yOB+zOC ∴ 必要性成立。
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