羅爾中值定理例題及答案（羅爾中值定理）
發(fā)布日期：2023-03-13 06:00:12
導(dǎo)讀 關(guān)于羅爾中值定理例題及答案，羅爾中值定理這個很多人還不知道，今天菲菲來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！1、羅爾(Rolle)
關(guān)于羅爾中值定理例題及答案，羅爾中值定理這個很多人還不知道，今天菲菲來為大家解答以上的問題，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！
1、羅爾(Rolle)中值定理羅爾中值定理:如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù),且在區(qū)間端點函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξm?因為f(a)=f(b),所以M和m這兩個數(shù)中至少有一個不等于f(x)在閉區(qū)間[a,b]的端點處的函數(shù)值,為確定起見,不妨設(shè)M≠f(a)(如果m≠f(a),證法完全類似)?那么必定在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有一點ξ使f(ξ)=M?下面我們證明f(x)在點ξ處的導(dǎo)數(shù)等于零,f’(ξ)=0?因為ξ是開區(qū)間(a,b)內(nèi)的點根據(jù)假設(shè)可知f’(ξ)存在,即極限lim(Δx→0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx存在?而極限存在必定左?右極限存在并且相等,因此不論Δx取正值趨于零(Δx→+0),還是取負值趨于零(Δx→-0),比值[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx的極限都存在,它們都等于f’(ξ):lim(Δx→+0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx=lim(Δx→-0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx由于f(ξ)=M是f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最大值,因此不論Δx是正的還是負的,只要ξ+Δx在[a,b]上,總有f(ξ+Δx)≤f(ξ)即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0當(dāng)Δx≥0時,[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≤0從而根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)有l(wèi)im(Δx→+0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≤0就是說,右極限不可能是正的同理Δx<0時[f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≥0從而lim(Δx→-0) [f(ξ+Δx)-f(ξ)]/Δx≥0就是說,左極限不可能是負的既然右極限不可能是正的,左極限不可能是負的,而左?右極限又必須相等,那就必然等于零,即f’(ξ)=0證畢 羅爾中值定理的幾何意義若連續(xù)曲線y=f(x)在區(qū)間[a,b]上所對應(yīng)的弧段AB，除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，且在弧的兩個端點A,B處的縱坐標(biāo)相等。
2、則在弧AB上至少有一點C，使曲線在C點處的切線平行于x軸。
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羅爾中值定理
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