【大學(xué)微積分必背公式】微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的核心內(nèi)容，無(wú)論是理工科還是經(jīng)濟(jì)類專業(yè)，都離不開(kāi)對(duì)微積分知識(shí)的掌握。為了幫助學(xué)生高效復(fù)習(xí)、快速記憶，本文整理了大學(xué)微積分中一些必須掌握的重要公式，便于學(xué)習(xí)和考試時(shí)參考。
一、基本求導(dǎo)公式
| 函數(shù) | 導(dǎo)數(shù) |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
二、基本積分公式
| 函數(shù) | 不定積分 | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ |
三、常用微分法則
1. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算
- $ (u \pm v)' = u' \pm v' $
- $ (uv)' = u'v + uv' $
- $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
2. 鏈?zhǔn)椒▌t
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，則
$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $
3. 隱函數(shù)求導(dǎo)
對(duì)于方程 $ F(x, y) = 0 $，可兩邊對(duì) $ x $ 求導(dǎo)，解出 $ \frac{dy}{dx} $
四、常見(jiàn)泰勒展開(kāi)與麥克勞林展開(kāi)
| 函數(shù) | 展開(kāi)式（在 $ x=0 $ 處） | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots $（$ | x | < 1 $） |
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots $（$ | x | < 1 $） |
五、積分方法總結(jié)
| 方法 | 適用情況 |
| 換元積分法 | 被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)或含變量替換的情況 |
| 分部積分法 | 形如 $ \int u dv $ 的形式，適用于多項(xiàng)式乘三角函數(shù)等 |
| 有理函數(shù)分解 | 分母為多項(xiàng)式的積分，可拆分為部分分式 |
| 三角代換 | 被積函數(shù)含有 $ \sqrt{a^2 - x^2} $、$ \sqrt{a^2 + x^2} $ 等形式 |
| 特殊函數(shù)積分 | 如 $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx $、$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx $ 等標(biāo)準(zhǔn)形式 |
六、微積分應(yīng)用常見(jiàn)公式
1. 面積計(jì)算：
$ A = \int_a^b f(x) dx $
2. 體積計(jì)算（旋轉(zhuǎn)體）：
$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $
3. 弧長(zhǎng)公式：
$ L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $
4. 平均值公式：
$ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx $
通過(guò)以上公式的整理，可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中更系統(tǒng)地掌握微積分的核心內(nèi)容。建議結(jié)合例題進(jìn)行練習(xí)，加深理解，提高解題能力。