【威爾斯特拉斯函數(shù)】威爾斯特拉斯函數(shù)是由德國數(shù)學家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）在19世紀提出的一個著名數(shù)學函數(shù)，是第一個被正式構造出來的處處連續(xù)但處處不可導的函數(shù)。這一發(fā)現(xiàn)打破了當時人們對“連續(xù)函數(shù)必可導”的直觀認識，對分析學的發(fā)展起到了重要的推動作用。
該函數(shù)的構造基于一個無限級數(shù)，形式為：
$$
W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)
$$
其中 $ 0 < a < 1 $，$ b $ 是一個奇整數(shù)，并且滿足 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $。這種構造方式使得函數(shù)在任何一點上都沒有導數(shù)，從而成為數(shù)學史上一個具有里程碑意義的例子。
表格：威爾斯特拉斯函數(shù)關鍵信息
| 項目 | 內容 |
| 函數(shù)名稱 | 威爾斯特拉斯函數(shù) |
| 提出者 | 卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass） |
| 提出時間 | 19世紀 |
| 數(shù)學性質 | 處處連續(xù)，但處處不可導 |
| 函數(shù)表達式 | $ W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x) $ |
| 參數(shù)條件 | $ 0 < a < 1 $，$ b $ 為奇整數(shù)，且 $ ab > 1 + \frac{3}{2}\pi $ |
| 意義 | 突破了“連續(xù)即光滑”的傳統(tǒng)觀念，推動了數(shù)學分析的發(fā)展 |
| 應用領域 | 數(shù)學分析、分形幾何、混沌理論等 |
結語：
威爾斯特拉斯函數(shù)不僅是數(shù)學史上的一個重要里程碑，也啟發(fā)了后來許多關于函數(shù)性質的研究。它展示了數(shù)學中某些看似簡單的結構可能隱藏著極為復雜的特性，進一步豐富了人們對數(shù)學世界的理解。