【回歸離差平方和】在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，回歸分析是一種重要的數(shù)據(jù)分析方法，用于研究變量之間的關(guān)系。在回歸模型中，“回歸離差平方和”是一個關(guān)鍵的統(tǒng)計(jì)量，用于衡量模型對數(shù)據(jù)的擬合程度。本文將對“回歸離差平方和”的概念、計(jì)算方式及其意義進(jìn)行總結(jié)，并通過表格形式加以說明。
一、概念總結(jié)
回歸離差平方和（SSR），全稱為 回歸平方和，是總離差平方和（SST）中由回歸模型解釋的部分。它表示的是因變量（Y）的變異中，可以被自變量（X）所解釋的那一部分。換句話說，它是回歸模型對數(shù)據(jù)變化的解釋能力的度量。
- 總離差平方和（SST）：所有觀測值與均值之間的差異平方和。
- 殘差平方和（SSE）：觀測值與預(yù)測值之間的差異平方和。
- 回歸離差平方和（SSR）：SST - SSE，即模型能夠解釋的變異部分。
公式如下：
$$
SSR = \sum (\hat{y}_i - \overline{y})^2
$$
其中：
- $\hat{y}_i$ 是第 $i$ 個觀測值的預(yù)測值；
- $\overline{y}$ 是因變量的平均值。
二、作用與意義
1. 衡量模型擬合效果：SSR 越大，說明模型對數(shù)據(jù)的解釋力越強(qiáng)。
2. 用于計(jì)算決定系數(shù)（R2）：R2 = SSR / SST，表示模型解釋的變異比例。
3. 評估變量間的關(guān)系：SSR 的大小反映了自變量對因變量的影響程度。
三、示例說明
以下是一個簡單的數(shù)據(jù)集，展示如何計(jì)算回歸離差平方和：
| 觀測序號 | X（自變量） | Y（因變量） | 預(yù)測值 $\hat{y}$ | $(\hat{y} - \overline{y})^2$ |
| 1 | 1 | 2 | 2.5 | 0.25 |
| 2 | 2 | 4 | 3.5 | 1.25 |
| 3 | 3 | 6 | 4.5 | 2.25 |
| 4 | 4 | 8 | 5.5 | 3.25 |
| 5 | 5 | 10 | 6.5 | 4.25 |
- $\overline{y} = 6$
- SSR = 0.25 + 1.25 + 2.25 + 3.25 + 4.25 = 11.25
四、表格總結(jié)
| 概念名稱 | 定義 | 公式 | 作用 |
| 總離差平方和 | 所有觀測值與均值的平方差之和 | $SST = \sum (y_i - \overline{y})^2$ | 表示數(shù)據(jù)整體的變異程度 |
| 殘差平方和 | 觀測值與預(yù)測值的平方差之和 | $SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ | 表示模型未能解釋的變異部分 |
| 回歸離差平方和 | 模型能夠解釋的變異部分，等于 SST - SSE | $SSR = SST - SSE$ | 衡量模型對數(shù)據(jù)的解釋能力 |
| 決定系數(shù) | SSR 占 SST 的比例，反映模型的擬合優(yōu)度 | $R^2 = \frac{SSR}{SST}$ | 用于評價模型的解釋能力 |
五、結(jié)語
回歸離差平方和是回歸分析中的核心指標(biāo)之一，它不僅有助于理解模型的擬合效果，還能為后續(xù)的模型選擇和優(yōu)化提供依據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用中，結(jié)合其他統(tǒng)計(jì)量如 R2 和 F 檢驗(yàn)，可以更全面地評估模型的表現(xiàn)。