arctanx的原函數(shù)及其求解過(guò)程

在高等數(shù)學(xué)中，求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是一個(gè)重要的課題。所謂原函數(shù)，即為某一函數(shù)的不定積分。對(duì)于常見(jiàn)的初等函數(shù)，我們可以通過(guò)一些基本方法和公式找到其對(duì)應(yīng)的原函數(shù)。本文將重點(diǎn)探討如何求解arctanx（反三角函數(shù)）的原函數(shù)，并對(duì)其推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)分析。

首先，我們需要明確什么是原函數(shù)。設(shè)f(x)是定義在一個(gè)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果存在另一個(gè)函數(shù)F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就稱為f(x)的一個(gè)原函數(shù)。根據(jù)不定積分的定義，求解原函數(shù)的過(guò)程實(shí)際上就是計(jì)算不定積分的過(guò)程。

現(xiàn)在考慮函數(shù)f(x) = arctanx。我們的目標(biāo)是找到F(x)，使得F'(x) = arctanx。這是一個(gè)典型的需要利用分部積分法的問(wèn)題。

分部積分公式為：

\[

\int u \, dv = uv - \int v \, du

\]

在這里，我們可以令u = arctanx，dv = dx。于是du = \(\frac{1}{1+x^2}\)dx，v = x。將這些代入分部積分公式，得到：

\[

\int \arctanx \, dx = x \cdot \arctanx - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx

\]

接下來(lái)，我們處理第二項(xiàng)積分\(\int \frac{x}{1+x^2} \, dx\)。注意到分子x是分母\(1+x^2\)的導(dǎo)數(shù)的一半，因此可以直接通過(guò)變量替換簡(jiǎn)化計(jì)算。令t = \(1+x^2\)，則dt = 2xdx，即\(\frac{1}{2} dt = xdx\)。因此：

\[

\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

\]

將結(jié)果代回原式，得到：

\[

\int \arctanx \, dx = x \cdot \arctanx - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

\]

綜上所述，arctanx的原函數(shù)為：

\[

F(x) = x \cdot \arctanx - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C

\]

從上述推導(dǎo)可以看出，求解arctanx的原函數(shù)涉及分部積分法和變量替換技巧。這種方法不僅適用于arctanx，還可以推廣到其他形式較為復(fù)雜的函數(shù)。掌握這些基本工具，能夠幫助我們更高效地解決不定積分問(wèn)題。

總結(jié)來(lái)說(shuō)，arctanx的原函數(shù)是\(x \cdot \arctanx - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C\)。這一結(jié)果體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推導(dǎo)中的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)也展示了積分運(yùn)算的強(qiáng)大功能。通過(guò)學(xué)習(xí)這類問(wèn)題，可以進(jìn)一步加深對(duì)微積分的理解與應(yīng)用能力。

標(biāo)簽：