證明的格式與示例：關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”的應(yīng)用

引言

在數(shù)學(xué)中，證明是一種嚴(yán)謹(jǐn)而重要的方法，用于驗證某一命題的真實性。其中，數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的證明技巧，廣泛應(yīng)用于數(shù)列、不等式等領(lǐng)域。本文將通過一個具體例子，展示如何正確地運用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，并闡述其格式要求。

定理陳述

設(shè) \( P(n) \) 是一個關(guān)于正整數(shù) \( n \) 的命題。如果滿足以下兩個條件：

1. 當(dāng) \( n = 1 \) 時，\( P(1) \) 成立；

2. 假設(shè)當(dāng) \( n = k \)（\( k \geq 1 \)）時 \( P(k) \) 成立，則可以推導(dǎo)出 \( P(k+1) \) 也成立，

那么對于所有正整數(shù) \( n \)，命題 \( P(n) \) 都成立。

示例證明：證明公式 \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \)

我們嘗試用數(shù)學(xué)歸納法證明自然數(shù)前 \( n \) 項和公式 \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \) 對任意正整數(shù) \( n \) 成立。

證明步驟

第一步：基礎(chǔ)步驟

當(dāng) \( n = 1 \) 時，左側(cè)為 \( S_1 = 1 \)，右側(cè)為 \( \frac{1(1+1)}{2} = 1 \)。顯然，左側(cè)等于右側(cè)，因此 \( P(1) \) 成立。

第二步：歸納假設(shè)

假設(shè)當(dāng) \( n = k \)（\( k \geq 1 \)）時，命題成立，即

\[

S_k = \frac{k(k+1)}{2}.

\]

第三步：歸納步驟

接下來需要證明當(dāng) \( n = k+1 \) 時，命題同樣成立。根據(jù)定義，有

\[

S_{k+1} = S_k + (k+1).

\]

利用歸納假設(shè) \( S_k = \frac{k(k+1)}{2} \)，代入得

\[

S_{k+1} = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1).

\]

將右邊化簡為單一分?jǐn)?shù)形式：

\[

S_{k+1} = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.

\]

這表明當(dāng) \( n = k+1 \) 時，公式依然成立。

第四步：結(jié)論

由數(shù)學(xué)歸納法原理可知，對于所有正整數(shù) \( n \)，公式 \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \) 都成立。

總結(jié)

本文展示了數(shù)學(xué)歸納法的基本格式和具體應(yīng)用。證明過程中，必須清晰地寫出基礎(chǔ)步驟、歸納假設(shè)以及歸納步驟，并確保邏輯連貫且無誤。這種嚴(yán)格的推理方式不僅能夠增強數(shù)學(xué)論證的能力，還能幫助理解問題的本質(zhì)。希望讀者能從中受益，在未來的學(xué)習(xí)或研究中靈活運用這一工具。

最終答案：

\boxed{\text{公式 } S_n = \frac{n(n+1)}{2} \text{ 對任意正整數(shù) } n \text{ 成立。}}

標(biāo)簽：