【數(shù)列求和公式】在數(shù)學(xué)中，數(shù)列是按照一定順序排列的一組數(shù)。對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和是常見的問題之一，不同的數(shù)列類型有不同的求和方法。本文將總結(jié)幾種常見數(shù)列的求和公式，并以表格形式清晰展示。

一、等差數(shù)列求和公式

等差數(shù)列是指每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常數(shù)的數(shù)列。設(shè)首項(xiàng)為 $ a $，公差為 $ d $，項(xiàng)數(shù)為 $ n $，則第 $ n $ 項(xiàng)為 $ a_n = a + (n - 1)d $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n}{2} \times (a + a_n) = \frac{n}{2} \times [2a + (n - 1)d

$$

二、等比數(shù)列求和公式

等比數(shù)列是指每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)的數(shù)列。設(shè)首項(xiàng)為 $ a $，公比為 $ r $，項(xiàng)數(shù)為 $ n $，則第 $ n $ 項(xiàng)為 $ a_n = ar^{n-1} $。

求和公式：

當(dāng) $ r \neq 1 $ 時(shí)，

$$

S_n = a \times \frac{1 - r^n}{1 - r}

$$

當(dāng) $ r < 1 $ 且 $ n \to \infty $ 時(shí)，無(wú)窮等比數(shù)列的和為：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

三、自然數(shù)列求和公式

自然數(shù)列是從 1 開始的連續(xù)正整數(shù)序列：$ 1, 2, 3, ..., n $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)}{2}

$$

四、平方數(shù)列求和公式

平方數(shù)列是各項(xiàng)為自然數(shù)的平方：$ 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2 $。

求和公式：

$$

S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

$$

五、立方數(shù)列求和公式

立方數(shù)列是各項(xiàng)為自然數(shù)的立方：$ 1^3, 2^3, 3^3, ..., n^3 $。

求和公式：

$$

S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2

$$

數(shù)列求和公式匯總表

通過掌握這些基本的數(shù)列求和公式，可以快速解決許多實(shí)際問題，如計(jì)算工資增長(zhǎng)、利息累積、幾何面積等。在學(xué)習(xí)過程中，建議結(jié)合具體例子進(jìn)行練習(xí)，以加深理解。